.:: مجموعه اعداد صحیح و گویا ::.
الف: مجموعه عددهای صحیح |
عدد صحیح:(integer)
صحیح به معنی تندرست، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1± , 2± , ... را یک عدد صحیح می نامیم. مجموعه ی اعداد صحیح را با حرف که از کلمه آلمانی Zahlen به معنی «عدد صحیح» گرفته شده است، نمایش می دهند. این مجموعه عبارت است از:
{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =
نمایش مجموعه عددهای صحیح:
برای معرفی یک مجموعه روشهای مختلفی وجود دارد. اگر اعضای مجموعه مشخص باشند، اعضای مجموعه را می نویسیم مانند: مجموعه کتابهای درسی سال سوم دوره راهنمایی تحصیلی گاهی اوقات لازم است به جای نوشتن اعضای یک مجموعه ، خاصیت اعضاء آن را بیان کنیم. به عنوان مثال فرض کنید معاون پرورشی یک مدرسه خطاب به دانش آموزان آن مدرسه می گوید:
دانش آموزانی که در نوبت اول معدل آن ها بیشتر از 18 باشد ، به اردوی علمی ، تفریحی در شهر اصفهان خواهند رفت. در این جا اعضای مجموعه فعلا مشخص نیستند ، بلکه ویژگی و خاصیت اعضای مجموعه که معدل بالای 18 می باشد در آینده ای نزدیک اعضای مجموعه رامشخص خواهد کرد.
اکنون مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- را در نظر بگیرید و به معرفی این مجموعه در حالتهای مختلف توجه کنید:
الف) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- روی محور اعداد صحیح:
ب) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- به زبان ریاضی:
ج) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- با نوشتن اعضای آن مجموعه:
{ 2 , 1 , 0 , 1- , 2- }=A
مثال: مجموعه های زیر با علائم ریاضی بیان شده اند. آن ها را با اعضاء مشخص کنید:
الف):
حل: مجموعه A بیان می کند : « x بطوریکه x به اعداد صحیح تعلق دارد و مربع آن برابر عدد یک است.» . پس از خواندن این جمله باید اعدادی را که واجد این خاصیت هستند، پیدا کنیم. بدیهی است که عددهای صحیح 1+ و 1- این خاصیت را دارند بنابراین :
{ 1- و 1+} =A
ب):
حل: گاهی اوقات به جای به کاربردن متغیر ، عبارتی جبری شامل متغیر بکار می رود.
(2x) نماینده اعضای این مجموعه است که بیان می کند x به اعداد طبیعی تعلق دارد. بنابراین:
{ ... و 16 و 8 و 4 و 2}=B
جمع عددهای صحیح:
الف) جمع با توجه به بردار:
مثال: جمع متناظر با بردار را بنویسید.
حل:
( عدد انتهای بردار) = (طول بردار)+ ( عدد ابتدای بردار)
( 3+ ) = ( 5+ ) + ( 2- )
ب) جمع بدون توجه به بردار: برای نوشتن حاصل جمعه به صورت زیر عمل می کنیم:
1. ابتدا تا حد امکان مختصر نویسی می کنیم.
2. اگر عددها هم علمت باشند، جمع می کنیم و اگر مختلف العلامت باشند، کم می کنیم.
3. علامت جواب بدست آمده را مشخص می کنیم.
مثال: 7=5-12=(5-)+(12+)
یادآوری: چنانچه بخواهیم از قرینه یابی استفاده کنیم به صورت زیر عمل می کنیم:
11-=(4+7)-=(4-)+(7-)
5-=(10-15)-=(10+)+(15-)
4-=(8-12)-=(12-)+(8+)
تفریق عددهای صحیح:
الف) تفریق با استفاده از بردار:
مثال: تفریق متناظر با بردار را بنویسید.
حل: (عدد ابتدای بردار) = ( طول بردار) - ( عدد انتهای بردار)
( 3- ) = ( 4+ ) - ( 1+ )
ب) تفریق اعداد صحیح بدون توجه به بردار:
برای تفریق کردن عدد b از عدد a ، می توانیم قرینه b را با a جمع کنیم: یعنی:
a-b = a+(-b)
مثال:
22=7+15=(7+)+(15+)=(7-)-(15+)
ب: مجموعه عددهای گویا |
عدد گویا: (rational Number):
گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می باشد و در ریاضی هر عدد کسری مانند یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت مانند 2- , 0 , 3+ , 2/3- , 25/0 که به ترتیب به شکل کسرهای نوشته می شوند ، را یک عدد گویا می نامیم.
مجموعه عددهای گویا:
این مجموعه شامل تمام اعداد گویا است، این مجموعه را با حرف Q که حرف اول کلمه Quotient است، نمایش می دهند.
نمایش مجموعه عددهای گویا به زبان ریاضی به صورت زیر است:
نماد اعشاری اعداد گویا:
برای مشخص کردن نماد اعشاری اعداد گویا کافی است صورت را بر مخرج کسر تقسیم کنیم. با این تقسیم امکان ایجاد دو نوع عدد اعشاری در خارج قسمت وجود دارد:
1) عدد اعشاری مختوم
2) عدد اعشاری متناوب
مثال:
1- عدد اعشاری مختوم:
اگر در هنگام تقسیم صورت بر مخرج به باقیمانده صفر برسیم، عدد اعشاری ایجاد شده مختوم است. عدد اعشاری مختوم به صورت دهم ، صدم ، هزارم و ... بیان می شوند و خیلی ساده می توان آن ها را به صورت کسر تبدیل کرد مانند:
2- عدد اعشاری متناوب:
اگر در تقسیم صورت بر مخرج کسری به باقی مانده صفر نرسیم و مرتبا عددی در خارج قسمت تکرار شود، این عدد ، عدد اعشاری متناوب نام دارد.
اعداد اعشاری متناوب به صورت نوشته می شوند و بدین معنی است که رقم های زیر خط تیره در اعشار تکرار می شوند. مانند:
نکته1: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع شوند، عدد اعشاری متناوب ساده است و برای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:
مثال:
نکته 2: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع نشوند، عدد اعشاری متناوب مرکب است وبرای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:
مثال:
نتیجه: اگر اعداد اعشاری مختوم یا متناوب باشند، قابل تبدیل به کسر هستند.
اعدادی مانند که در هنگام جذر گرفتن به باقیمانده صفر نمی رسند و جواب بدست آمده نه مختوم می شود و نه متناوب ، قابل تبدیل شدن به کسر نیستند و این بدان معنی است که گویا نمی باشند و غیر از اعداد گویا اعداد دیگری هم وجود دارد.
محور اعداد گویا:
عدد را بر روی محور مشخص کنید.